[Python - Floyd Warshall] 10159 저울

📌 문제

무게가 서로 다른 N 개의 물건이 있다. 각 물건은 1부터 N 까지 번호가 매겨져 있다. 우리는 일부 물건 쌍에 대해서 양팔 저울로 어떤 것이 무거운 것인지를 측정한 결과표를 가지고 있다. 이 결과표로부터 직접 측정하지 않은 물건 쌍의 비교 결과를 알아낼 수도 있고 알아내지 못할 수도 있다. 예를 들어, 총 6개의 물건이 있고, 다음 5개의 비교 결과가 주어졌다고 가정하자. ([1]은 1번 물건의 무게를 의미한다.)

 

[1]>[2], [2]>[3], [3]>[4], [5]>[4], [6]>[5]

 

우리는 [2]>[3], [3]>[4]로부터 [2]>[4]라는 것을 알 수 있다. 하지만, 물건 2와 물건 6을 비교하는 경우, 앞서의 결과만으로는 어느 것이 무거운지 알 수 없다. 이와 같이, 물건 2는 물건 1, 3, 4와의 비교 결과는 알 수 있지만, 물건 5, 6과의 비교 결과는 알 수 없다. 물건 4는 모든 다른 물건과의 비교 결과를 알 수 있다. 

 

비교 결과가 모순되는 입력은 없다고 가정한다. 위 예제의 기존 측정 결과에 [3]>[1]이 추가되었다고 가정하자. 이 경우 [1]>[2], [2]>[3]이므로 우리는 [1]>[3]이라는 것을 예측할 수 있는데, 이는 기존에 측정된 결과 [3]>[1]과 서로 모순이므로 이러한 입력은 가능하지 않다. 

 

물건의 개수 N 과 일부 물건 쌍의 비교 결과가 주어졌을 때, 각 물건에 대해서 그 물건과의 비교 결과를 알 수 없는 물건의 개수를 출력하는 프로그램을 작성하시오. 

📌 입력

첫 줄에는 물건의 개수 N 이 주어지고, 둘째 줄에는 미리 측정된 물건 쌍의 개수 M이 주어진다. 단, 5 ≤ N ≤ 100 이고, 0 ≤ M ≤ 2,000이다. 다음 M개의 줄에 미리 측정된 비교 결과가 한 줄에 하나씩 주어진다. 각 줄에는 측정된 물건 번호를 나타내는 두 개의 정수가 공백을 사이에 두고 주어지며, 앞의 물건이 뒤의 물건보다 더 무겁다.

📌 출력

여러분은 N개의 줄에 결과를 출력해야 한다. i 번째 줄에는 물건 i 와 비교 결과를 알 수 없는 물건의 개수를 출력한다.

📌 문제 풀이

👨‍🏫 접근

일단 각 저울이 모든 저울과 비교해야 하고, 그 저울들을 비교하면서 유효한 비교가 가능한지 여부를 파악해야 한다.

이때, 물건의 대소관계를 모두 파악해야 한다는 점과 각 대소관계가 서로 이어져있다는 점에서 착안하여 플로이드 워셜 알고리즘을 사용해 문제를 풀도록 했다.

 

플로이드 워셜의 기본적인 과정은 a부터 b까지 가는 모든 과정을 파악하기 위해 a 부터 k 그리고 k 부터 b까지 가는 과정을 비교한다. 둘을 비교하여, 더 비용이 적은 경우를 저장하여 모든 경로를 최소 경로로 갱신한다.

 

즉, 아래와 같은 방식으로 알고리즘을 작성한다.

INF = float('inf')
n = 10 # 정점의 개수

graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

for i in range(1, n + 1):
	graph[i][i] = 0 # 자기 자신에게로 가는 비용은 0으로 초기화
    
for a in range(1, n + 1):
	for b in range(1, n + 1):
    	for k in range(1, n + 1):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
    	if graph[i][j] == INF:
        	print(0, end=' ')
        else:
        	print(graph[i][j], end=' ')
    print()

이때, 각 정점과 정점을 계산하는 부분에 주목하면, 이 문제를 풀 실마리를 찾을 수 있다.

for a in range(1, n + 1):
	for b in range(1, n + 1):
    	for k in range(1, n + 1):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

여기서는 min 함수를 사용해서 더 작은 경우 그 값으로 갱신해줬었는데, 여기서는 저울의 대소 관계를 명확히 파악해야 한다.

 

[1] > [3] 이고 [3] > [2] 라면 둘의 대소관계가 유효하나, [1] > [3] 이며 [2] > [3] 은 유효하지 않다. 다르게 표현하면 [1] > [3] 이고 [3] < [2] 이다.

 

즉, [1] > [3] < [2] 로 둘의 부등호 방향이 다르다. 이는 플로이드 워셜에서 유용하게 사용할 수 있는데, a 와 k 물건의 부등호 방향과 k 와 b 물건의 부등호 방향을 검사하여 서로 같을 경우에 새롭게 a -> b의 대소 관계를 정의할 수 있게 된다.

 

이를 활용하여 모든 경로를 검사하고 값을 갱신해주며 문제를 풀이한다.

👨‍🏫 문제 풀이

📄 전체 코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = float('inf')
n = int(input())

distance = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

for i in range(1, n + 1):
    distance[i][i] = 1

m = int(input())

# i > j는 1로, i < j는 -1로 정의하여 방향을 잡음
for _ in range(m):
    i, j = map(int, input().split())
    distance[i][j] = 1
    distance[j][i] = -1

for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            if distance[a][k] == distance[k][b] != INF:
                distance[a][b] = distance[a][k]

for i in range(1, n + 1):
    cnt = 0
    for j in range(1, n + 1):
        if distance[i][j] == INF:
            cnt += 1
    print(cnt)

📄 준비

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = float('inf')
n = int(input())

distance = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

for i in range(1, n + 1):
    distance[i][i] = 1

m = int(input())

# i > j는 1로, i < j는 -1로 정의하여 방향을 잡음
for _ in range(m):
    i, j = map(int, input().split())
    distance[i][j] = 1
    distance[j][i] = -1

여기서 모든 입력에 대하여 대소 관계를 정의해준다.

 

i 가 j보다 크다면, 그 방향은 1이라는 값으로 저장해주고 반대로 j 가 i 보다 작다는 것을 표현하기 위해 distance[j][i] 에는 -1이라는 방향을 저장해준다.

📄 풀이

for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            if distance[a][k] == distance[k][b] != INF:
                distance[a][b] = distance[a][k]

for i in range(1, n + 1):
    cnt = 0
    for j in range(1, n + 1):
        if distance[i][j] == INF:
            cnt += 1
    print(cnt)

만약 둘을 비교하여 서로 방향이 같다면, 그 값을 갱신해주고 그렇지 않다면 불가능하기 때문에 넘어간다.

📌 총평

오랜만에 재미있는 문제였다.