[Python - Floyd Warshall] 11404 플로이드

📌 문제

n(2 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.

 

모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

📌 입력

첫째 줄에 도시의 개수 n이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.

 

시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.

📌 출력

n개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.

📌 문제 풀이

👨‍🏫 접근

최단 경로 알고리즘의 두 번째 대표적인 알고리즘인 플로이드 워셜 알고리즘이다. 정점과 정점 사이의 최단 경로를 모두 구할 때, 사용한다.

 

다익스트라가 x 정점에서 y 정점으로 가는 최단 경로를 찾는 것과 차이가 있다.

 

일단 모든 간선의 입력을 받아준다. 그 이후에 a -> k -> b의 경로를 모두 탐색한다. 1번에서 3번을 거쳐 5번을 가고, 3번에서 1번을 거쳐 5로 가는 등 모든 경로를 탐색하면서 최솟값을 계속해서 갱신하도록 연산을 해주면 모든 경로의 최솟값을 구할 수 있다.

 

다익스트라도 이런 식으로 풀 수 있다.

예를 들어서 a에서 b까지 가려고 할 때, a <= k <= b 를 만족 시키도록 k를 늘려가면서 a부터 k 까지의 최솟값과 k부터 b까지의 최솟값을 더해서 출력한다.

 

이러한 풀이 방식은 특정 경로를 무조건 방문하면서 최단 경로를 찾기 위해 유용하게 사용할 수 있다.

👨‍🏫 문제 풀이

📄 전체 코드

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = float('inf')

n = int(input())
m = int(input())

distances = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
    distances[i][i] = 0

for _ in range(m):
    i, j, w = map(int, input().split())
    distances[i][j] = min(distances[i][j], w)

for k in range(1, n + 1):
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            distances[i][j] = min(
                distances[i][j], distances[i][k] + distances[k][j])

for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if distances[i][j] == INF:
            print(0, end=" ")
        else:
            print(distances[i][j], end=" ")
    print()

📄 준비

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = float('inf')

n = int(input())
m = int(input())

distances = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
    distances[i][i] = 0

for _ in range(m):
    i, j, w = map(int, input().split())
    distances[i][j] = min(distances[i][j], w)

자기 자신으로 가는 것은 0으로 초기화해준다.

여기서 버스가 i -> j로 가는 버스로 단방향 간선이기 때문에 한 번의 입력만 해준다. 이때, 가장 빠른 버스를 타야 하므로 min 함수로 항상 최단의 간선으로 갱신해준다.

📄 풀이

for k in range(1, n + 1):
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            distances[i][j] = min(
                distances[i][j], distances[i][k] + distances[k][j])

for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        if distances[i][j] == INF:
            print(0, end=" ")
        else:
            print(distances[i][j], end=" ")
    print()

특정 경로를 거쳐서 가도록 갱신해주며 최단 경로를 찾는다. 갈 수 없으면 0을 출력하고, 아니면 거리를 출력해준다.

📌 총평

까먹지 않도록 자주 복습하자.